Diện tích nhỏ nhất của tam giác $ABC$ khi $C$ chạy trên đường thẳng $d$.

Bước 1 — Quy về khoảng cách hai đường chéo nhau.
$S_{ABC} = \tfrac12 |AB|\cdot d(C, AB)$ với $AB$ cố định. Khi $C$ chạy trên $d$, $d(C, AB)$ nhỏ nhất bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $AB$ ⇒ $S_{\min} = \tfrac12 |AB|\cdot d(d, AB)$.

Bước 2 — Tính các vectơ.
$\vec{AB} = (-2; 0; -1)$, $\vec{u} = (0; 1; -3)$.
$[\vec{AB}, \vec{u}] = (1; -6; -2)$, $\overrightarrow{AC_0} = (-3; -4; 0)$.

Bước 3 — Khoảng cách hai đường và diện tích.
$d(d, AB) = \dfrac{|[\vec{AB},\vec{u}]\cdot\overrightarrow{AC_0}|}{|[\vec{AB},\vec{u}]|}$.
$S_{\min} = \tfrac12\,|\overrightarrow{AB}|\cdot d(d,AB) = \tfrac12\,\dfrac{|[\vec{AB},\vec{u}]\cdot\overrightarrow{AC_0}|}{|\vec{u}|} \approx 3,67$.

Kết luận: $S_{\min} \approx 3,67$.