Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(10; 7; 3)$, $B(8; 16; 4)$, $C(8; 6; 5)$, $D(6; 6; 2)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 7$, $d_B = 13$, $d_C = 6$, $d_D = 3$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.
A
$M(5; 4; 1)$
B
$M(4; 5; 0)$
C
$M(-4; -4; -1)$
D
$M(4; 4; 1)$
✓
LỜI GIẢI
Mỗi điều kiện $|MX| = d_X$ tương đương với mặt cầu tâm $X$, bán kính $d_X$. Tọa độ $M$ là giao của 4 mặt cầu — quy về hệ phương trình:
$(M_x - 10)^2 + (M_y - 7)^2 + (M_z - 3)^2 = 49$ \\ $(M_x - 8)^2 + (M_y - 16)^2 + (M_z - 4)^2 = 169$ \\ $(M_x - 8)^2 + (M_y - 6)^2 + (M_z - 5)^2 = 36$ \\ $(M_x - 6)^2 + (M_y - 6)^2 + (M_z - 2)^2 = 9$
Trừ phương trình $(A)$ cho $(B)$, $(A)$ cho $(C)$, $(A)$ cho $(D)$ để khử hạng tử bậc hai $M_x^2 + M_y^2 + M_z^2$, ta được hệ tuyến tính:
$-4 M_x + 18 M_y + 2 M_z = 58$ \\ $-4 M_x - 2 M_y + 4 M_z = -20$ \\ $-8 M_x - 2 M_y - 2 M_z = -42$
Giải hệ (Cramer hoặc khử Gauss) ⇒ $M(4; 4; 1)$. Kiểm tra lại: $|MA| = 7$, $|MB| = 13$, $|MC| = 6$, $|MD| = 3$ ✓.
63% trả lời đúng
107 đúng · 62 sai