Trong không gian $Oxyz$, vệ tinh $M$ chuyển động trên một elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, có hai tiêu điểm $A(8;0;0)$, $B(-8;0;0)$ và $MA + MB = 20$. Cho điểm $C(0;0;8)$. Tính khoảng cách NGẮN NHẤT từ $C$ đến $M$.
ĐÁP ÁN
1
0
LỜI GIẢI
Bước 1 — Xác định elip.
Hai tiêu điểm cách tâm $c = 8$ và $MA + MB = 20 = 2a \Rightarrow a = 10$. Suy ra $b^2 = a^2 - c^2 = 10^2 - 8^2 = 36 \Rightarrow b = 6$.
Bước 2 — Tham số hóa và lập bình phương khoảng cách.
Đặt $M(10\cos t; 6\sin t; 0)$. Khi đó
$CM^2 = 10^2\cos^2 t + 6^2\sin^2 t + 8^2 = 36 + 64 + (100 - 36)\cos^2 t$.
Bước 3 — Tìm cực tiểu.
Vì $a > b$ nên hệ số $(100 - 36) > 0$; $CM^2$ nhỏ nhất khi $\cos^2 t = 0$ (tại đỉnh trục BÉ). Khi đó $CM_{\min} = \sqrt{b^2 + h^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Kết luận: Khoảng cách ngắn nhất $= 10$.
62% trả lời đúng
520 đúng · 317 sai