Giá trị trung bình của hàm số $f(x) = 3 x^{2} - x + 3$ trên đoạn $[2; 5]$ được tính bởi $M = \dfrac{1}{5 - 2}\displaystyle\int_{2}^{5} f(x)\,dx$. Tính $M$.
A
$M = 43$
B
$M = \dfrac{33}{2}$
C
$M = \dfrac{77}{2}$
✓
D
$M = \dfrac{231}{2}$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Công thức giá trị trung bình tích phân.
$M = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Lưu ý: đây KHÁC với trung bình cộng hai đầu mút $\dfrac{f(a) + f(b)}{2}$. Trung bình cộng chỉ dùng hai giá trị biên, còn giá trị trung bình tích phân lấy trung bình LIÊN TỤC mọi giá trị của $f$ trên đoạn nên nói chung hai số này khác nhau.
Bước 2 — Tính $\displaystyle\int_{2}^{5} f(x)\,dx$ bằng Newton–Leibniz.
Nguyên hàm $F(x) = x^{3} - \dfrac{x^{2}}{2} + 3 x$.
$\displaystyle\int_{2}^{5} f(x)\,dx = F(5) - F(2) = \dfrac{255}{2} - (12) = \dfrac{231}{2}$.
Bước 3 — Chia cho độ dài đoạn.
$b - a = 3$ nên $M = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{231}{2} = \dfrac{77}{2}$.
Kết luận: $M = \dfrac{77}{2}$.
69% trả lời đúng
250 đúng · 113 sai