$\lim \dfrac{1 + 2 + \cdots + n}{an^2 + bn + c} = \dfrac{1}{2a}$.

Bước 1 — Thay tổng ở tử bằng công thức.
$1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{n^2 + n}{2}$ (tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng).

Bước 2 — Viết lại giới hạn:
$L = \lim \dfrac{\dfrac{n^2 + n}{2}}{6n^2 - 3n + 3} = \lim \dfrac{n^2 + n}{2\left(6n^2 - 3n + 3\right)}$.

Bước 3 — Phân thức bậc 2 / bậc 2 ⇒ tỉ số hệ số đầu.
Chia tử và mẫu cho $n^2$; các hạng $\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n^2} \to 0$.
Hệ số đầu tử $= 1$, hệ số đầu mẫu $= 2 \cdot 6 = 12$.

Bước 4 — Kết quả:
$L = \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{12}$.

Kết luận: $L = \dfrac{1}{12}$.