Cho số phức $z$ thoả mãn $|z - 5 + 12i| = 4$. Gọi $M$ là điểm biểu diễn $z$ trên mặt phẳng toạ độ (hình vẽ). Tìm tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $|z|$ (bằng độ dài $OM$).
A
$\max|z| + \min|z| = 17$
B
$\max|z| + \min|z| = 173$
C
$\max|z| + \min|z| = 26$
✓
D
$\max|z| + \min|z| = 13$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Quy về hình học. $|z| = OM$ là khoảng cách từ gốc $O$ đến điểm $M$. Điều kiện $|z - (5 + 12i)| = 4$ cho biết $M$ chạy trên đường tròn tâm $I(5; 12)$, bán kính $R = 4$.
Bước 2 — Tính $OI$ và xét vị trí của $O$.
$OI = \sqrt{5^2 + (12)^2} = \sqrt{169} = 13$.
Vì $OI = 13 > R = 4$ nên gốc $O$ nằm NGOÀI đường tròn. Khi $M$ chạy trên đường tròn, $OM$ đạt:
- lớn nhất khi $M$ là giao XA nhất của đường thẳng $OI$ với đường tròn ($O, I, M$ thẳng hàng): $\max OM = OI + R$;
- nhỏ nhất khi $M$ là giao GẦN nhất: $\min OM = OI - R$.
Bước 3 — Thay số.
$\max |z| = OI + R = 13 + 4 = 17$; $\min |z| = OI - R = 13 - 4 = 9$; tổng $= 17 + 9 = 26$.
Kết luận: $\max|z| + \min|z| = 26$.
66% trả lời đúng
265 đúng · 136 sai