Hai cột điện cao $h_1 = 4$ m và $h_2 = 6$ m được dựng thẳng đứng tại hai chân cột $A$ và $B$ cách nhau $d = 15$ m trên mặt đất phẳng. Người ta kéo một sợi dây cáp từ đỉnh cột thứ nhất, chạm xuống mặt đất tại điểm $M$ thuộc đoạn $AB$, rồi từ $M$ kéo lên đỉnh cột thứ hai. Hỏi $M$ cách $A$ một khoảng bằng bao nhiêu mét để tổng chiều dài đoạn dây cáp là ngắn nhất?
A
$AM = 7\,\text{m}$
B
$AM = 4\,\text{m}$
C
$AM = 9\,\text{m}$
D
$AM = 6\,\text{m}$
✓
LỜI GIẢI
Đặt $AM = t$ (m), $0 \leq t \leq 15$. Chiều dài dây cáp: $L(t) = \sqrt{t^2 + 4^2} + \sqrt{(15 - t)^2 + 6^2}$.
$L'(t) = \dfrac{t}{\sqrt{t^2 + 16}} - \dfrac{15 - t}{\sqrt{(15 - t)^2 + 36}} = 0$.
⇔ $\dfrac{t}{\sqrt{t^2 + 16}} = \dfrac{15 - t}{\sqrt{(15 - t)^2 + 36}}$. Bình phương + biến đổi: $\dfrac{t}{4} = \dfrac{15 - t}{6}$.
⇔ $t \cdot 6 = 4(15 - t) \Leftrightarrow t \cdot (4 + 6) = 4 \cdot 15 \Leftrightarrow t = \dfrac{4 \cdot 15}{10} = 6$.
$L''(t) > 0$ trên $(0; 15)$ ⇒ $t = 6$ là điểm cực tiểu, $L_{\min} = \sqrt{15^2 + (4 + 6)^2} = \sqrt{325}$ m (theo phép đối xứng phản chiếu cột thứ hai qua mặt đất).
65% trả lời đúng
581 đúng · 316 sai