Hỏi trực tiếp SỐ cặp có thứ tự $(c^i;c^j)$ làm $\log_x y$ nguyên.

Bước 1 — Tham số hóa.
Viết $x=c^i,\ y=c^j$ với $i,j \in \{1; 2; \dots; 23\}$.

Bước 2 — Điều kiện nguyên.
$\log_x y = \log_{c^i}(c^j) = \dfrac{j}{i}$ nguyên $\Leftrightarrow i \mid j$ ($j$ là bội của $i$). (Đừng nhầm thành $j \mid i$.)

Bước 3 — Đếm.
Với mỗi $i$ cố định, số $j$ thỏa mãn là số bội của $i$ trong $\{1; \dots; 23\}$, tức $\left\lfloor \dfrac{23}{i} \right\rfloor$. Vậy tổng số cặp là
$\sum_{i=1}^{23} \left\lfloor \dfrac{23}{i} \right\rfloor = 76$.

Kết luận: Có $\textbf{76}$ cặp thỏa mãn.