Bước 1 — Bất đẳng thức & tính chất nền.
Để so sánh hai biểu thức $P$ và $Q$ ta xét HIỆU $P - Q$:
• $P - Q > 0 \Leftrightarrow P > Q$; $\;P - Q \ge 0 \Leftrightarrow P \ge Q$.
• Tính chất chốt: bình phương của mọi số thực luôn không âm, $A^2 \ge 0$ với mọi $A$, dấu bằng khi $A = 0$.
Bước 2 — Phương pháp (đưa về bình phương).
• Khai triển hiệu $P - Q$ rồi dùng hằng đẳng thức để gom thành $(\,\cdot\,)^2$ hoặc $(\,\cdot\,)^2 + (\text{hằng số} > 0)$.
• Nhận diện: $x^2 \pm 2ax + a^2 = (x \pm a)^2$.
• Suy ra dấu của hiệu trên TOÀN miền số thực → kết luận chiều BĐT.
Bước 3 — Lưu ý độ chặt.
• Hiệu $= (\cdot)^2$: đẳng thức ĐẠT ĐƯỢC (khi biểu thức trong bình phương bằng $0$) → dùng $\ge$ (hoặc $\le$).
• Hiệu $= (\cdot)^2 + c$ với $c > 0$: KHÔNG bao giờ bằng $0$ → BĐT NGHIÊM ngặt, dùng $>$ (hoặc $<$).
Bước 4 — Sai lầm cần tránh.
• Chỉ thử vài giá trị $x$ rồi vội kết luận 'đúng với mọi $x$' (phải chứng minh tổng quát bằng bình phương).
• Nhầm độ chặt: ghi $>$ khi đẳng thức xảy ra, hoặc $\ge$ khi hiệu luôn dương ngặt.
• Nhầm chiều bất đẳng thức khi đối chiếu hiệu với $0$.
Xét hiệu hai vế và nhóm thành bình phương cộng hằng số:
$(x^2 + 8x + 19) - 0 = x^2 + 8x + 19 = (x + 4)^2 + 3$.
Vì $(x + 4)^2 \ge 0$ nên $(x + 4)^2 + 3 \ge 3 > 0$ với mọi $x$, tức $x^2 + 8x + 19 > 0$ với mọi $x$.
Độ chặt. Hiệu luôn $\ge 3 > 0$ (không bao giờ bằng $0$), nên bất đẳng thức NGHIÊM ngặt: dùng dấu $>$, không phải $\ge$.