Cho hàm số $f(x) = \left(\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}\right)^{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A
$\int f(x)\,dx = x - \cos x + C$
✓
B
$\int f(x)\,dx = x - \sin x + C$
C
$\int f(x)\,dx = -x + \cos x + C$
D
$\int f(x)\,dx = x + \cos x + C$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Khai triển hằng đẳng thức.
$f(x) = \sin^2\dfrac{x}{2} + 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2} + \cos^2\dfrac{x}{2}$.
Dùng $\sin^2 u + \cos^2 u = 1$ và $2\sin u\cos u = \sin 2u$ với $u = \dfrac{x}{2}$:
phần chéo $2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2} = \sin x$.
Bước 2 — Rút gọn $f$.
$f(x) = 1 + \sin x = 1 + \sin x$.
Bước 3 — Tích phân.
$\int (1 + \sin x)\,dx = x - \cos x + C$ (vì $\int 1\,dx = x$ và $\int \sin x\,dx = -\cos x$).
Kết luận: $\int f(x)\,dx = x - \cos x + C$.
72% trả lời đúng
258 đúng · 102 sai