Một mặt cắt đứng của một đồi trượt cỏ gồm hai cung parabol nối trơn: cung $(P_1)$ có đỉnh tại điểm đầu $A(0;2)$ (cao $2$ m) đi xuống và nối với cung $(P_2)$ tại điểm $N$ cách $A$ một khoảng $3$ m theo phương ngang; $(P_2)$ có đỉnh tại điểm cuối $B$ ở độ cao $0$ và cách $A$ một khoảng $8$ m theo phương ngang. Để mặt trượt mượt, tiếp tuyến của hai parabol tại $N$ trùng nhau. Đồi trượt rộng $6$ m. Tính số mét khối đất đắp thành đồi trượt (thể tích khối).
ĐÁP ÁN
4
4
LỜI GIẢI
Bước 1 — Lập phương trình hai parabol.
$(P_1): y = 2 + a_1 x^2$ (đỉnh $A$); $(P_2): y = a_2(x-8)^2$ (đỉnh $B$).
Nối trơn tại $x=3$: cùng tung độ và cùng đạo hàm $\Rightarrow a_1 = - \dfrac{1}{12}$, $a_2 = \dfrac{1}{20}$.
Bước 2 — Diện tích thiết diện.
$S = \int_0^{3} (2 - \dfrac{x^{2}}{12})\,dx + \int_{3}^{8} (\dfrac{\left(x - 8\right)^{2}}{20})\,dx = \dfrac{22}{3}$ m².
Bước 3 — Thể tích lăng trụ.
$V = S \times w = \dfrac{22}{3} \times 6 = 44$ m³.
Kết luận: $V = 44$ m³.
59% trả lời đúng
460 đúng · 315 sai