Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
A
$d = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$
✓
B
$d = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
C
$d = \dfrac{a}{2}$
D
$d = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Chứng minh $(SBD) \perp (SAC)$.
Gọi $O$ là tâm đáy. Hình vuông có hai đường chéo vuông góc nên $BD \perp AC$ (tức $BD \perp AO$); lại có $SA \perp (ABCD) \supset BD$ ⇒ $SA \perp BD$. Vậy $BD \perp (SAC)$.
Vì $BD \subset (SBD)$ nên $(SBD) \perp (SAC)$, giao tuyến là $SO$.
Bước 2 — Hạ đường vuông góc.
Trong mặt $(SAC)$, kẻ $AH \perp SO$ tại $H$. Do $(SBD) \perp (SAC)$ theo giao tuyến $SO$ nên $AH \perp (SBD)$, suy ra $d(A,(SBD)) = AH$.
Bước 3 — Hệ thức lượng tam giác vuông $SAO$.
$AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, $SA = a\sqrt{2}$; tam giác $SAO$ vuông tại $A$ với đường cao $AH$:
$AH = \dfrac{SA \cdot AO}{\sqrt{SA^2 + AO^2}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
Kết luận: $d(A,(SBD)) = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
63% trả lời đúng
481 đúng · 283 sai