A) Sai. Sai. Kẻ $CH\perp AB$ tại $H$ thì góc nhị diện $[C',AB,C]=\widehat{C'HC}=60^\circ$. Ở đây $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$ chính là $CH=\dfrac{2S_{ABC}}{AB}$ (với $AB=a\sqrt7$), còn $CC'=CH\tan60^\circ=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\cdot \sqrt{3}=\dfrac{3a\sqrt7}{7}\ne \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
B) Đúng. $AB\perp(CHC')$ nên $d(C,(ABC'))=$ đường cao từ $C$ trong $\triangle$ vuông $CHC'$: $\dfrac{CH\cdot CC'}{\sqrt{CH^2+CC'^2}}=\dfrac{\frac{a\sqrt{21}}{7}\cdot \frac{3a\sqrt7}{7}}{\sqrt{\frac{3a^2}{7}+\frac{9a^2}{7}}}=\dfrac{3a\sqrt7}{14}$.
C) Đúng. $S_{ABC}=\dfrac12\cdot AC\cdot BC\cdot\sin\widehat{ACB}=\dfrac12\cdot a\cdot 2a\cdot\sin120^\circ=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$.
D) Đúng. Đặt $C(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $A(-\tfrac{a}{2};\tfrac{a\sqrt3}{2};0)$, $C'(0;0;\tfrac{3a\sqrt7}{7})$. Khoảng cách hai đường chéo nhau $BC$ và $AC'$ tính theo $\dfrac{|[\vec{u},\vec{v}]\cdot\vec{CA}|}{|[\vec{u},\vec{v}]|}=\dfrac{3a\sqrt{19}}{19}$.