Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $24$ cm. Giả sử hai chú kiến xuất phát cùng một lúc: con vàng đi thẳng đều từ $A$ đến $C'$ với tốc độ $3$ cm/s; con đen đi thẳng đều từ $D$ đến $B$ với tốc độ $2$ cm/s. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ lúc xuất phát thì khoảng cách giữa hai con là nhỏ nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.)
ĐÁP ÁN
6
LỜI GIẢI
Bước 1 — Chọn hệ trục và viết vận tốc.
Đặt $A$ trùng gốc, $\vec{AB},\vec{AD},\vec{AA'}$ là ba trục.
Quãng đường $AC'=a\sqrt{3}$, $DB=a\sqrt{2}$ (theo cạnh $a=24$). Vận tốc = tốc độ nhân vectơ đơn vị: con vàng có $\vec{v_1}=(1.732;1.732;1.732)$, con đen có $\vec{v_2}=(1.414;-1.414;0.0)$ (cm/s).
Bước 2 — Lập bình phương khoảng cách.
$d(t)^2=|P_1(t)-P_2(t)|^2$ là tam thức bậc hai theo $t$: $f(t)\approx 13\,t^2 -151\,t + C$ với hệ số $t^2$ dương.
Bước 3 — Tìm thời điểm cực tiểu.
$t^*=-\dfrac{B}{2A}\approx 5,808$ giây (thoả mãn nhỏ hơn thời gian mỗi con còn đang di chuyển).
Kết luận: Làm tròn đến hàng đơn vị, $t=6$ giây.
64% trả lời đúng
204 đúng · 114 sai