Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $6$ (đơn vị độ dài). Hai con bọ xuất phát đồng thời tại hai đỉnh: con thứ nhất đi thẳng đều từ $A$ đến $C$ hết $8$ giây; con thứ hai đi thẳng đều từ $B$ đến $D'$ hết $12$ giây. Gọi $t$ (tính bằng giây) là thời gian kể từ lúc xuất phát. Tìm $t$ để khoảng cách giữa hai con là nhỏ nhất.
ĐÁP ÁN
4
LỜI GIẢI
Chọn hệ trục $Oxyz$ với $A$ trùng gốc, $\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA'}$ là ba trục. Khi đó các đỉnh có toạ độ với cạnh $6$: vị trí con thứ nhất $P_1(t) = A + \dfrac{t}{8}\,\overrightarrow{AC}$, con thứ hai $P_2(t) = B + \dfrac{t}{12}\,\overrightarrow{BD'}$.
Khoảng cách bình phương $d(t)^2 = |P_1(t) - P_2(t)|^2$ là một tam thức bậc hai theo $t$ dạng $f(t) = 1,875\,t^2 - 15\,t + C$ với hệ số $t^2$ dương.
Tam thức đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = -\dfrac{B}{2A} = -\dfrac{-15}{2\cdot1,875} = 4$ giây. (Kiểm tra: $t = 4 < 8$ nên cả hai con vẫn đang di chuyển.) Kết luận: $t = 4$.
63% trả lời đúng
496 đúng · 293 sai