Mái chòi "chóp lục giác cong" — cạnh bên nằm trên parabol, t...

Lớp 12 · Ứng dụng tích phân tính thể tích

Có một cái chòi hình "chóp cong", trong đó mái chòi $(H)$ có dạng hình "chóp lục giác cong đều" như hình vẽ. Đáy của $(H)$ là một hình lục giác đều tâm $O$, đường chéo qua tâm $O$ có độ dài là $10$ m, chiều cao $SO = 8$ m ($SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của $(H)$ là các sợi dây thép nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với $SO$. Giả sử hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của $(H)$ với mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $SO$ là một lục giác đều. Biết rằng khi mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua trung điểm của $SO$ thì lục giác đều có cạnh $l = 2$ m. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

A) Diện tích hình lục giác đều nói trên khi $(\alpha)$ đi qua trung điểm của $SO$ là $6\sqrt{3}\ \text{m}^2$. Đúng

B) Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ là điểm $O$ trên hình vẽ, $S$ thuộc tia $Oy$, đỉnh $A$ của lục giác đều thuộc tia $Ox$ thì parabol $(P)$ chứa cạnh bên $SA$ có phương trình $y = \dfrac{2x^2}{15} - \dfrac{34x}{15} + 8$. Đúng

C) Nếu $(\alpha)$ cắt $SO$ và $(P)$ lần lượt tại $M$ và $B$, mà $OM = t$ thì độ dài đoạn $BM$ là $\dfrac{17}{2} - \dfrac{\sqrt{t + 49}}{2}$. Sai

D) Thể tích ($\text{m}^3$) phần không gian nằm bên trong mái chòi $(H)$ (làm tròn đến hàng phần mười) là $137{,}1\ \text{m}^3$. Đúng

LỜI GIẢI

A) Đúng. Lục giác đều cạnh $l = 2$ m chia thành $6$ tam giác đều cạnh $2$: $S = 6\cdot\dfrac{2^2\sqrt3}{4} = 6\sqrt{3}\ \text{m}^2$ ⇒ ĐÚNG.

B) Đúng. $(P): y = ax^2 + bx + c$ đi qua $A(5;0)$, $S(0;8)$, $A'(2;4)$ ⇒ $a=\dfrac{2}{15}$, $b=-\dfrac{34}{15}$, $c=8$, tức $y = \dfrac{2x^2}{15} - \dfrac{34x}{15} + 8$ ⇒ ĐÚNG.

C) Sai. Giải $t = \dfrac{2x^2}{15} - \dfrac{34x}{15} + 8$ theo $x$, lấy nghiệm nhỏ ($x = BM < 5$) được $BM = \dfrac{17}{2} - \dfrac{\sqrt{30 t + 49}}{2}$, KHÔNG phải $\dfrac{17}{2} - \dfrac{\sqrt{t + 49}}{2}$ (sai hệ số dưới căn) ⇒ SAI.

D) Đúng. Thiết diện tại $OM = t$ là lục giác đều cạnh $BM$, diện tích $S(t) = \dfrac{3\sqrt3}{2}\,BM^2$. Thể tích $V = \displaystyle\int_0^{8} \dfrac{3\sqrt3}{2}\left(\dfrac{17}{2} - \dfrac{\sqrt{30 t + 49}}{2}\right)^2 dt \approx 137{,}1\ \text{m}^3$ ⇒ ĐÚNG.

65% trả lời đúng 220 đúng · 119 sai

Mái chòi "chóp lục giác cong" — cạnh bên nằm trên parabol, thiết diện