Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), mặt sàn quảng trường trùng với mặt phẳng $(Oxy)$. Một tác phẩm nghệ thuật hình cầu $(S)$ có phương trình $(x + 10\sqrt{3})^2 + y^2 + (z - 30)^2 = 100$. Tại một thời điểm, phương của các tia nắng mặt trời được xác định bởi vectơ $\vec u = (1; 0; -\sqrt{3})$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
A)
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-10\sqrt{3}; 0; 30)$ và bán kính $R = 10$ (m).
Đúng
B)
Tâm mặt cầu $(S)$ nằm phía trên mặt sàn $(Oxy)$.
Đúng
C)
Gọi $K$ là hình chiếu của tâm $I$ theo phương tia nắng trên mặt sàn, khi đó $K(10\sqrt{3}; 0; 0)$.
Sai
D)
Bóng của mặt cầu trên mặt sàn là một elip có tiêu cự bằng $\dfrac{20}{\sqrt{3}}$.
Đúng
LỜI GIẢI
A) Đúng. Từ dạng chính tắc $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ đọc trực tiếp tâm $I(-10\sqrt{3}; 0; 30)$ và $R=10$.
B) Đúng. Cao độ của tâm dương ($z_I>0$ trong $I(-10\sqrt{3}; 0; 30)$) nên tâm nằm trên sàn.
C) Sai. $K$ là giao của đường thẳng tia nắng qua $I$ với sàn $z=0$. Giải $z=0$ tìm $t$ rồi thay vào, được $K(0; 0; 0)$ — khác với $K(10\sqrt{3}; 0; 0)$ nên SAI.
D) Đúng. Bóng là elip với nửa trục nhỏ $b=R=10$, nửa trục lớn $a=\dfrac{R}{\cos\theta}$ ($\theta=30^\circ$ là góc giữa tia nắng và $Oz$). Tiêu cự $2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2R\tan\theta=\dfrac{20}{\sqrt{3}}$.
58% trả lời đúng
492 đúng · 353 sai