Trong không gian $Oxyz$, một quả khí cầu hình cầu được mô tả bởi $(S): (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 100$. Mặt phẳng $(P): 2x + 2y + z - 38 = 0$ cắt $(S)$ theo một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến.
A
$r = 10$
B
$r = 18$
C
$r = 6$
✓
D
$r = 8$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Giao tuyến mặt phẳng và mặt cầu.
$(P)$ cắt $(S; R)$ tâm $I$ theo đường tròn khi $d = d(I, (P)) < R$.
Bán kính giao tuyến: $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ (từ tam giác vuông tâm $I$ — chân vuông góc — điểm trên đường tròn).
Bước 2 — Tính $d(I, (P))$.
$d = \dfrac{|2\cdot 2 + 2\cdot 3 + 1\cdot 4 - 38|}{\sqrt{2^2 + (2)^2 + (1)^2}} = \dfrac{24}{3} = 8$.
Bước 3 — Áp dụng công thức bán kính giao tuyến.
$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.
Kết luận: $r = 6$.
69% trả lời đúng
393 đúng · 177 sai