Một chiếc máy bay đang bay ngang ở độ cao $H = 25$ m so với mặt đất phẳng. Trên mặt đất có một tòa nhà thẳng đứng cao $h = 9$ m (chân tại gốc $O$, đỉnh tại điểm cao $h$). Khi máy bay ở vị trí có khoảng cách ngang $x$ m so với chân tòa nhà thì người trên máy bay nhìn thấy tòa nhà dưới một góc $\beta(x)$ (góc giữa hai tia nhìn tới đỉnh và chân tòa nhà). Tìm $x > 0$ để $\beta(x)$ đạt giá trị lớn nhất.
A
$x = 16\,\text{m}$
B
$x = 25\,\text{m}$
C
$x = 20\,\text{m}$
✓
D
$x = 9\,\text{m}$
LỜI GIẢI
Đặt máy bay tại điểm $P(x, 25)$. Tia nhìn tới chân toà nhà $O(0, 0)$ hợp với phương đứng góc $\alpha_1$ với $\tan\alpha_1 = \dfrac{x}{25}$; tia nhìn tới đỉnh $T(0, 9)$ hợp với phương đứng góc $\alpha_2$ với $\tan\alpha_2 = \dfrac{x}{16}$.
$\beta = \alpha_2 - \alpha_1$, do đó $\tan\beta = \dfrac{\tan\alpha_2 - \tan\alpha_1}{1 + \tan\alpha_1 \tan\alpha_2} = \dfrac{x \cdot 9}{x^2 + 400}$ (rút gọn sau quy đồng).
Đặt $g(x) = \dfrac{x}{x^2 + 400}$. $g'(x) = \dfrac{400 - x^2}{(x^2 + 400)^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 = 400 \Leftrightarrow x = 20$ (do $x > 0$).
Vì $g$ tăng trên $(0; 20)$, giảm trên $(20; +\infty)$ nên $\beta$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 20$ m.
60% trả lời đúng
420 đúng · 275 sai