Nguyên hàm cần đổi biến $u=x^2+bx+c$ kèm điều kiện đầu rồi tính $F$ tại một điểm.

Bước 1 — Nhận dạng để đổi biến.
Đặt $u = x^{2} - x + 4$ thì $u' = 2 x - 1 = 2 x - 1$.
Ta thấy $f(x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 4 = (2 x - 1)\cdot(x^{2} - x + 4) = u'\cdot u$, tức $f$ có dạng $u'\,u$ — đây là dấu hiệu để đổi biến.

Bước 2 — Đổi biến và tích phân.
$\int f(x)\,dx = \int u\,du = \dfrac{u^2}{2} + C = \dfrac{(x^{2} - x + 4)^2}{2} + C$.
Vậy $F(x) = \dfrac{(x^{2} - x + 4)^2}{2} + C$.

Bước 3 — Tìm $C$ từ điều kiện $F(-2) = 5$.
$u(-2) = 10$ ⇒ $\dfrac{(10)^2}{2} + C = 50 + C = 5 \Rightarrow C = -45$.

Bước 4 — Tính $F(-1)$.
$u(-1) = 6$ ⇒ $F(-1) = \dfrac{(6)^2}{2} - 45 = 18 - 45 = -27$.

Kết luận: $F(-1) = -27$.