Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua $I(-4; 2; 4)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_d = (0; -1; -2)$ và mặt phẳng $(Q): 2x + 2y - z = 0$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và tạo với $(Q)$ một góc nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ điểm $M(5; -3; 3)$ đến $(P)$.
ĐÁP ÁN
3
LỜI GIẢI
Bước 1 — Điều kiện góc nhỏ nhất.
Vì $(P)$ chứa $d$ nên $\vec{n}_P \perp \vec{u}_d$. Góc giữa $(P)$ và $(Q)$ nhỏ nhất khi $(P)$ "gần" $(Q)$ nhất, lúc đó
$\vec{n}_P = \vec{u}_d \times (\vec{u}_d \times \vec{n}_Q)$.
Bước 2 — Tính tích có hướng kép.
$\vec{u}_d \times \vec{n}_Q = (5; -4; 2)$, suy ra
$\vec{n}_P = \vec{u}_d \times ((5; -4; 2)) = (-2; -2; 1)$ (đã rút gọn).
Bước 3 — Phương trình $(P)$.
$(P)$ qua $I$ với VTPT $\vec{n}_P$: $-2x - 2y + z - 8 = 0$.
Bước 4 — Khoảng cách từ $M$ tới $(P)$.
$d(M,(P)) = \dfrac{|\vec{n}_P\cdot\overrightarrow{IM}|}{|\vec{n}_P|} = \dfrac{9}{\sqrt{9}} \approx 3$.
Kết luận: $d(M,(P)) \approx 3$.
62% trả lời đúng
500 đúng · 307 sai