Bước 1 — Đặc trưng của điểm cực trị.
Hàm bậc ba $y = x^3 + bx^2 + cx + d$ có $y' = 3x^2 + 2bx + c$. Khi $\Delta'_{y'} > 0$, $y'$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ là hoành độ hai điểm cực trị; tại đó $y'(x_i) = 0$.
Bước 2 — Chia đa thức $y$ cho $y'$.
Vì $\deg y = 3 > 2 = \deg y'$, ta viết được
$$y = y' \cdot \left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{b}{9}\right) + g(x),$$
trong đó $g(x) = px + q$ là phần dư (bậc nhất).
Bước 3 — Vì sao phần dư là đường thẳng cần tìm.
Tại điểm cực trị $x_i$ ta có $y'(x_i) = 0$, nên
$$y(x_i) = y'(x_i)\cdot\Big(\dfrac{x_i}{3}+\dfrac{b}{9}\Big) + g(x_i) = g(x_i).$$
Vậy cả hai điểm cực trị $\big(x_i; y(x_i)\big)$ đều nằm trên đường $y = g(x)$ ⇒ đó chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Bước 4 — Thực hiện phép chia.
$y = x^{3} + 3 x^{2} + 2$, $y' = 3 x^{2} + 6 x$.
Lấy phần dư: $g(x) = -2x + 2$ (hệ số góc $p = \dfrac{2}{9}(3c - b^2) = -2$, hệ số tự do $q = d - \dfrac{bc}{9} = 2$).
Kết luận: Đường thẳng qua hai điểm cực trị là $y = -2x + 2$.