Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha): -3x + 2y + z + 1 = 0$ và đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_d = (3; -1; -3)$. Đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(\alpha)$, đi qua $M(2; 3; -1)$ và tạo với $d$ một góc nhỏ nhất. Gọi $\vec{u}_\Delta = (a; b; c)$ là vectơ chỉ phương (toạ độ nguyên, rút gọn) của $\Delta$. Tính $b + c$.
ĐÁP ÁN
-
1
LỜI GIẢI
Bước 1 — Hướng tạo góc nhỏ nhất với $d$.
Trong $(\alpha)$, đường tạo góc nhỏ nhất với $d$ có vectơ chỉ phương là hình chiếu vuông góc của $\vec{u}_d$ lên $(\alpha)$:
$\vec{u}_\Delta = \vec{u}_d - \dfrac{\vec{u}_d\cdot\vec{n}_\alpha}{|\vec{n}_\alpha|^2}\,\vec{n}_\alpha$.
Bước 2 — Nhân $|\vec{n}_\alpha|^2$ để được toạ độ nguyên.
$|\vec{n}_\alpha|^2 = 14$, $\vec{u}_d\cdot\vec{n}_\alpha = -14$.
$|\vec{n}_\alpha|^2\,\vec{u}_d - (\vec{u}_d\cdot\vec{n}_\alpha)\vec{n}_\alpha \parallel (0; 1; -2) = (a; b; c)$ (đã rút gọn).
Bước 3 — Tính tổng yêu cầu.
$b + c = 1 - 2 = -1$.
Kết luận: $b + c = -1$.
62% trả lời đúng
477 đúng · 290 sai