Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2\sin\dfrac{x}{2}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = \dfrac{\pi}{2}$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
A
$V = 2 \pi \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (1 - \cos x)\,dx$
✓
B
$V = \pi \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} 2\sin\dfrac{x}{2}\,dx$
C
$V = 2 \pi \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (1 + \cos x)\,dx$
D
$V = 4 \pi \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (1 - \cos x)\,dx$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Công thức thể tích.
$V = \pi \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \left(2\sin\dfrac{x}{2}\right)^2\,dx = \pi \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} 4\sin^2\dfrac{x}{2}\,dx$.
Bước 2 — Hạ bậc.
$\sin^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1 - \cos x}{2}$ (công thức $\sin^2 t = \dfrac{1 - \cos 2t}{2}$ với $t = \dfrac{x}{2}$).
$\Rightarrow 4\sin^2\dfrac{x}{2} = 4 \cdot \dfrac{1 - \cos x}{2} = 2(1 - \cos x)$.
Bước 3 — Rút hệ số ra ngoài dấu tích phân.
$V = \pi \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} 2(1 - \cos x)\,dx = 2 \pi \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (1 - \cos x)\,dx$.
Kết luận: $V = 2 \pi \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (1 - \cos x)\,dx$.
69% trả lời đúng
398 đúng · 177 sai