Bước 1 — Đưa hai biểu thức dưới căn về bình phương.
Tìm $x, y$ với $x + y = 12$ và $x \cdot y = 35$ ($x, y$ là nghiệm của $t^2 - 12t + 35 = 0$): $(x, y) = (7, 5)$.
Khi đó $12 + 2\sqrt{35} = (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2$ và $12 - 2\sqrt{35} = (\sqrt{7} - \sqrt{5})^2$.
Bước 2 — Áp dụng $\sqrt{A^2} = |A|$ cho từng căn.
$\sqrt{12 + 2\sqrt{35}} = |\sqrt{7} + \sqrt{5}| = \sqrt{7} + \sqrt{5}$ (tổng hai số dương).
$\sqrt{12 - 2\sqrt{35}} = |\sqrt{7} - \sqrt{5}|$.
Bước 3 — Xét dấu để bỏ trị tuyệt đối (mấu chốt).
Vì $7 > 5$ nên $\sqrt{7} > \sqrt{5}$, tức $\sqrt{7} - \sqrt{5} > 0$, do đó $|\sqrt{7} - \sqrt{5}| = \sqrt{7} - \sqrt{5}$.
⚠️ Nếu QUÊN trị tuyệt đối mà viết thành $\sqrt{5} - \sqrt{7}$ thì kết quả sẽ sai (ra $2\sqrt{7}$).
Bước 4 — Trừ và rút gọn.
$P = (\sqrt{7} + \sqrt{5}) - (\sqrt{7} - \sqrt{5}) = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ (phần $\sqrt{7}$ triệt tiêu).
Kết luận: $P = 2\sqrt{5}$.