Xét một nhà máy lắp ba bộ phận độc lập A, B, C. Xác suất để hai bộ phận A, B hoạt động tốt tương ứng là $a$ và $b$ (với $a > b$). Biết rằng xác suất để bộ phận C hoạt động tốt là $0,7$, xác suất để ít nhất một trong ba bộ phận hoạt động tốt là $0,942$ và xác suất để cả ba bộ phận cùng hoạt động tốt là $0,172$. Giả sử việc hoạt động tốt của ba bộ phận là độc lập với nhau. Tính $2a + b$.
ĐÁP ÁN
1
,
7
5
LỜI GIẢI
Bước 1 — Đặt ẩn.
Đặt $a = P(A)$, $b = P(B)$, $c = P(C) = 0,7$ với $a > b$. Ba biến cố độc lập.
Bước 2 — Dùng xác suất cả ba.
$P($cả ba$) = a\,b\,c = 0,172 \Rightarrow ab = \dfrac{0,172}{0,7} = 0,245$.
Bước 3 — Dùng xác suất ít nhất một (qua biến cố đối).
$P($không bộ phận nào hoạt động tốt$) = 1 - 0,942 = 0,059$.
$(1-a)(1-b)(1-c) = 0,059 \Rightarrow (1-a)(1-b) = \dfrac{0,059}{1 - 0,7} = 0,195$.
Khai triển: $1 - (a+b) + ab = 0,195$, thay $ab = 0,245$ $\Rightarrow a + b = 1,05$.
Bước 4 — Giải hệ $a+b$, $ab$.
$a, b$ là hai nghiệm của $t^2 - 1,05\,t + 0,245 = 0$, do $a>b$ nên $a = 0,7,\ b = 0,35$.
Kết luận: $2a + b = 2\cdot0,7 + 1\cdot0,35 = 1,75$.
62% trả lời đúng
288 đúng · 179 sai