Một dây chuyền kiểm tra chất lượng sử dụng hai cảm biến độc lập $C_1$ và $C_2$ để quét các linh kiện lạ. Qua thống kê, tỉ lệ linh kiện lỗi trong hệ thống là $3\%$.
• Đối với một linh kiện lỗi: xác suất nó bị $C_1$ cảnh báo là $0,85$; bị $C_2$ cảnh báo là $0,78$ và xác suất bị cả hai cùng cảnh báo là $0,75$.
• Đối với một linh kiện không lỗi: xác suất nó bị $C_1$ cảnh báo là $0,05$; bị $C_2$ cảnh báo là $0,03$ và xác suất không bị cảm biến nào cảnh báo là $0,94$.
Một linh kiện được quét và bị ít nhất một cảm biến cảnh báo. Xác suất để linh kiện đó thực sự lỗi là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
• Đối với một linh kiện lỗi: xác suất nó bị $C_1$ cảnh báo là $0,85$; bị $C_2$ cảnh báo là $0,78$ và xác suất bị cả hai cùng cảnh báo là $0,75$.
• Đối với một linh kiện không lỗi: xác suất nó bị $C_1$ cảnh báo là $0,05$; bị $C_2$ cảnh báo là $0,03$ và xác suất không bị cảm biến nào cảnh báo là $0,94$.
Một linh kiện được quét và bị ít nhất một cảm biến cảnh báo. Xác suất để linh kiện đó thực sự lỗi là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
ĐÁP ÁN
3
1
,
2
LỜI GIẢI
Bước 1 — Đặt biến cố.
Gọi $A$: "linh kiện lỗi"; $H$: "linh kiện bị ít nhất một cảm biến cảnh báo".
$P(A) = 3\% = 0,03$, $P(\overline{A}) = 0,97$.
Bước 2 — Xác suất bị ít nhất một cảnh báo trong mỗi nhóm.
Dùng công thức cộng: $P(S_1\cup S_2) = P(S_1) + P(S_2) - P(S_1\cap S_2)$.
• Nhóm lỗi: $P(H\mid A) = 0,85 + 0,78 - 0,75 = 0,88$.
• Nhóm không lỗi: dùng biến cố đối — $P(H\mid \overline{A}) = 1 - 0,94 = 0,06$.
Bước 3 — Xác suất toàn phần $P(H)$.
$P(H) = P(A)P(H\mid A) + P(\overline{A})P(H\mid \overline{A}) = 0,03\cdot0,88 + 0,97\cdot0,06 = 0,0846$.
Bước 4 — Công thức Bayes.
$P(A\mid H) = \dfrac{P(A)P(H\mid A)}{P(H)} = \dfrac{0,0264}{0,0846} \approx 31,2\%$.
Kết luận: xác suất cần tìm $\approx 31,2\%$.
62% trả lời đúng
439 đúng · 265 sai