Bước 1 — Đặt biến cố.
Sản phẩm được chọn ngẫu nhiên trong toàn bộ $20000$ sản phẩm. Gọi:
• $I$: sản phẩm thuộc xí nghiệp I; $II$: sản phẩm thuộc xí nghiệp II;
• $B$: hệ thống báo là phế phẩm.
Cần tính xác suất HẬU NGHIỆM $P(I\,|\,B)$ bằng công thức Bayes.
Bước 2 — Xác suất tiên nghiệm và độ chính xác hệ thống.
$P(I) = \dfrac{15000}{20000} = 0,75$, $P(II) = \dfrac{5000}{20000} = 0,25$.
Hệ thống phát hiện đúng phế phẩm: $P(B\,|\,\text{phế}) = 94\% = \dfrac{94}{100}$.
Hệ thống dự đoán đúng sản phẩm tốt là $92\%$ nên báo nhầm sản phẩm tốt thành phế phẩm với xác suất $1 - 92\% = 8\% = \dfrac{8}{100}$.
Bước 3 — Xác suất hệ thống báo phế phẩm cho mỗi xí nghiệp (xác suất toàn phần).
$P(B\,|\,I) = \dfrac{5}{100}\cdot\dfrac{94}{100} + \dfrac{95}{100}\cdot\dfrac{8}{100} = 0,1230$.
$P(B\,|\,II) = \dfrac{7}{100}\cdot\dfrac{94}{100} + \dfrac{93}{100}\cdot\dfrac{8}{100} = 0,1402$.
Bước 4 — Công thức Bayes.
$P(I\,|\,B) = \dfrac{P(I)\,P(B\,|\,I)}{P(I)\,P(B\,|\,I) + P(II)\,P(B\,|\,II)}$
$= \dfrac{0,75\cdot 0,1230}{0,75\cdot 0,1230 + 0,25\cdot 0,1402} = \dfrac{0,09225}{0,1273} \approx 0,72$.
Kết luận: xác suất sản phẩm thuộc xí nghiệp $I$ khi đã biết bị báo là phế phẩm $\approx 0,72$.