Bước 1 — Đếm số bước mỗi hướng.
Để đi từ $O(0;0;0)$ đến $C(6;6;5)$, mỗi bước cộng thêm $1$ vào đúng một toạ độ. Do đó cần đúng $6$ bước theo $\vec i$, $6$ bước theo $\vec j$ và $5$ bước theo $\vec k$, tổng cộng $17$ bước (theo thứ tự nào đó).
Bước 2 — Xếp các bước KHÔNG phải $\vec k$ trước.
Có $12$ bước không phải $\vec k$ (gồm $6$ bước $\vec i$ giống nhau và $6$ bước $\vec j$ giống nhau). Số cách xếp chúng thành một dãy là
$$\dfrac{(12)!}{6!\,6!} = C_{12}^{6} = 924.$$
Bước 3 — Chèn các bước $\vec k$ vào các khe (không liền nhau).
Một dãy $12$ bước tạo ra $13$ khe trống (kể cả hai đầu mút). Để không có hai bước $\vec k$ đứng liền nhau, ta chèn $5$ bước $\vec k$ vào $5$ khe khác nhau trong $13$ khe đó:
$$C_{13}^{5} = 1287.$$
Bước 4 — Quy tắc nhân.
$$T = C_{12}^{6}\cdot C_{13}^{5} = 924\cdot 1287 = 1189188.$$
Kết luận: $T = 1189188$, nên bốn chữ số đầu tiên của $T$ là $1189$.