Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 + a x + 2}{x - b}$ với $a, b$ lần lượt là số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biết xác suất để hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$ là $\dfrac{m}{n}$ ($m, n \in \mathbb{N}^*$, $\dfrac{m}{n}$ tối giản). Tính $m^2 + n^2$.
ĐÁP ÁN
6
1
LỜI GIẢI
Bước 1 — Đạo hàm và điều kiện nghịch biến.
$f'(x) = \dfrac{x^2 - 2bx - (ab + 2)}{(x-b)^2}$. Đặt $g(x) = x^2 - 2bx - (ab + 2)$ (parabol hướng lên). $f$ nghịch biến trên $(1; 3)$ khi $g(x) \le 0$ với mọi $x \in (1; 3)$, tức $g(1) \le 0$ và $g(3) \le 0$, đồng thời $b \notin (1; 3)$.
Bước 2 — Viết các bất phương trình theo $a, b$.
$g(1) = 1 - 2b - ab - 2 \le 0$ và $g(3) = 9 - 6b - ab - 2 \le 0$; thêm điều kiện $b \le 1$ hoặc $b \ge 3$.
Bước 3 — Đếm số cặp $(a,b)$ thỏa mãn.
Không gian mẫu có $6 \times 6 = 36$ cặp $(a, b)$ đồng khả năng. Duyệt tất cả, số cặp thỏa mãn là $30$.
Bước 4 — Tính xác suất và $m^2 + n^2$.
$P = \dfrac{30}{36} = \dfrac{5}{6}$ (tối giản). Vậy $m^2 + n^2 = 5^2 + 6^2 = 61$.
61% trả lời đúng
309 đúng · 199 sai