Một nhóm học sinh gồm $4$ học sinh nam trong đó có Hoàng và $4$ học sinh nữ trong đó có Lan được xếp thành một hàng dọc. Gọi $m$ là số cách xếp thỏa mãn các học sinh nam nữ đứng xen kẽ nhau sao cho Hoàng và Lan không đứng liên tiếp nhau. Giá trị $\dfrac{m}{8}$ bằng bao nhiêu?
ĐÁP ÁN
8
1
LỜI GIẢI
Bước 1 — Tổng số cách xếp xen kẽ.
Có $2$ mẫu xen kẽ (bắt đầu bởi nam hoặc nữ). Trong mỗi mẫu, $4$ nam xếp vào $4$ vị trí nam theo $n! = 24$ cách, tương tự $4$ nữ. Tổng số cách xếp xen kẽ là $2 \cdot (n!)^2 = 2 \cdot (24)^2 = 1152$.
Bước 2 — Số cách xếp xen kẽ mà $H, L$ liền nhau.
Trong mỗi mẫu xen kẽ, vị trí nam-nữ liền nhau gồm $2n-1$ cặp $(M, N)$ kế tiếp (do mẫu có $2n$ vị trí xen kẽ). Đặt $H, L$ vào $2n - 1 = 7$ cặp đó, còn $(n-1) = 3$ nam và $(n-1) = 3$ nữ còn lại xếp vào $3$ vị trí nam, $3$ vị trí nữ theo $((n-1)!)^2 = 36$ cách.
Số cách liền nhau (cả 2 mẫu): $2 \cdot (7) \cdot (6)^2 = 504$.
Bước 3 — Áp dụng nguyên lý bù trừ.
$m = 1152 - 504 = 648$.
$\dfrac{m}{8} = \dfrac{648}{8} = 81$.
Kết luận: $\dfrac{m}{8} = 81$.
61% trả lời đúng
435 đúng · 277 sai