Một cửa hàng kinh doanh máy lọc nước. Hàm cầu biểu thị liên hệ giữa giá bán mỗi chiếc máy với số lượng bán được trong một tháng là hàm bậc nhất. Khi giá bán là $5$ triệu đồng một chiếc máy thì một tháng bán được $100$ chiếc máy; khi giá bán là $4,5$ triệu đồng một chiếc máy thì bán được $120$ chiếc máy. Biết chi phí trung bình cho một chiếc máy khi bán được $x$ chiếc máy là $\dfrac{3x + 50}{x}$. Hỏi cửa hàng cần bán với giá bao nhiêu triệu đồng một chiếc máy để lợi nhuận trong tháng lớn nhất? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
ĐÁP ÁN
5
,
2
5
LỜI GIẢI
Bước 1 — Lập hàm cầu (giá theo số lượng).
Giá $p$ là hàm bậc nhất của số lượng $x$: $p = \alpha x + \beta$. Từ hai dữ kiện $(100; 5)$ và $(120; 4,5)$:
$\alpha = \dfrac{4,5 - 5}{120 - 100} = -\dfrac{1}{40}$, $\beta = 5 - \alpha\cdot100 = \dfrac{15}{2}$. Vậy $p(x) = -\dfrac{1}{40}x + 7,5$.
Bước 2 — Lập hàm lợi nhuận.
Tổng chi phí $= x\cdot\dfrac{3x + 50}{x} = 3x + 50$. Lợi nhuận
$$L(x) = p(x)\,x - (3x + 50) = - \dfrac{x^{2}}{40} + \dfrac{9 x}{2} - 50.$$
Bước 3 — Tối đa lợi nhuận.
$L'(x) = \dfrac{9}{2} - \dfrac{x}{20} = 0 \Leftrightarrow x = 90$ (hệ số $x^2$ âm nên là cực đại).
Kết luận.
Giá bán tối ưu $p^*= p(90) = \dfrac{21}{4} = 5,25$ triệu đồng mỗi chiếc máy.
62% trả lời đúng
267 đúng · 167 sai