Bước 1 — Lợi nhuận của doanh nghiệp theo $x$ (thuế $t$ cố định).
Doanh thu $R(x) = x\,P(x) = x(450 - x)$. Lợi nhuận sau thuế:
$\pi(x) = R(x) - C(x) - t x = x(450 - x) - (4x^2 + 50x + 900) - t x$.
Bước 2 — Doanh nghiệp chọn $x$ tối đa lợi nhuận.
$\pi'(x) = 450 - 2x - (8x + 50) - t = (400 - t) - 10x$.
$\pi'(x) = 0 \Leftrightarrow x^*(t) = \dfrac{400 - t}{10}$ (vì $\pi''(x) = -10 < 0$ nên đây là điểm cực đại).
Bước 3 — Tổng thuế nhà nước thu theo $t$.
$T(t) = t \cdot x^*(t) = \dfrac{t(400 - t)}{10} = \dfrac{400t - t^2}{10}$.
Bước 4 — Tối đa $T(t)$.
$T'(t) = \dfrac{400 - 2t}{10} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{400}{2} = 200$. Vì $T''(t) = -\dfrac{2}{10} < 0$ nên $t = 200$ cho tổng thuế lớn nhất.
Kết luận: mức thuế tối ưu $t^* = 200$ (khi đó sản lượng $x^* = 20$, tổng thuế $T = 4000$).