Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu sản xuất $x$ sản phẩm ($x \in \mathbb{Z}$, $1 \le x \le 500$) thì doanh thu khi bán hết là $F(x) = x^3 - 1999x^2 + 1001000x + 250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x) = x + 1000 + \dfrac{250000}{x}$ (đồng). Giả sử sản phẩm làm ra luôn được bán hết, lợi nhuận lớn nhất khi doanh nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
ĐÁP ÁN
3
3
3
LỜI GIẢI
Bước 1 — Tổng chi phí và lợi nhuận.
Tổng chi phí $C(x) = x\cdot G(x) = x\left(x + 1000 + \dfrac{250000}{x}\right) = x^2 + 1000x + 250000$. Lợi nhuận
$$P(x) = F(x) - C(x) = x^3 - 2000x^2 + 1000000x\quad(\text{đồng}).$$
Bước 2 — Đạo hàm và điểm tới hạn.
$P'(x) = 3 x^{2} - 4000 x + 1000000$. Giải $P'(x) = 0$ trên $[1; 500]$ được $x \approx 333,33$.
Bước 3 — Chọn sản lượng nguyên.
Vì $x \in \mathbb{Z}$, so sánh lợi nhuận tại các số nguyên gần nghiệm: $P(1) \approx 998.001$; $P(333) \approx 148.148.037$; $P(334) \approx 148.147.704$; $P(500) \approx 125.000.000$.
Kết luận: lợi nhuận lớn nhất khi sản xuất $x = 333$ sản phẩm.
61% trả lời đúng
537 đúng · 338 sai