Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $5$ dm. Vẽ cung phần tư đường tròn tâm $A$ bán kính $AB = 5$ và cung phần tư đường tròn tâm $B$ bán kính $BA = 5$ (cùng nằm trong hình vuông). Phần gạch sọc là phần chung của hai hình quạt phần tư nói trên. Tính diện tích phần gạch sọc (dm²). (Làm tròn đến hàng phần mười)
ĐÁP ÁN
3
0
,
7
LỜI GIẢI
Bước 1 — Đặt hệ trục.
Đặt $A(0;0)$, $B(5;0)$. Cung tâm $A$: $y = \sqrt{25 - x^2}$; cung tâm $B$: $y = \sqrt{25 - (x-5)^2}$. Hai cung cắt nhau tại $x = \dfrac{5}{2}$.
Bước 2 — Lập tích phân (đối xứng qua $x = \tfrac{5}{2}$).
$S = 2\displaystyle\int_{5/2}^{5}\sqrt{25 - x^2}\,dx$, dùng $\displaystyle\int\sqrt{R^2 - x^2}\,dx = \dfrac12\Bigl(x\sqrt{R^2 - x^2} + R^2\arcsin\dfrac{x}{R}\Bigr)$ với $R = 5$.
Bước 3 — Kết quả.
$S = \Bigl(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)5^2 \approx 30.7092$ dm².
Kết luận: $S \approx 30,7$ dm².
60% trả lời đúng
213 đúng · 143 sai