Xếp ngẫu nhiên $6$ khách của một đoàn khách (gồm $2$ khách đoàn A, $2$ khách đoàn B, $1$ khách đoàn C, $1$ khách đoàn D) vào một bàn dài có $6$ ghế chia thành $3$ cặp ghế đối diện nhau. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản) là xác suất để KHÔNG có hai khách cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi ĐỐI DIỆN nhau. Tính $p + q$.
ĐÁP ÁN
5
LỜI GIẢI
Bước 1 — Không gian mẫu.
Xếp $6$ khách phân biệt vào $6$ ghế: $n(\Omega) = 6!$.
Bước 2 — Bù trừ trên các cặp đối diện.
Bàn có $3$ cặp ghế đối diện RỜI NHAU. Gọi $A_i$ là biến cố 'cặp đối diện thứ $i$ có hai người cùng lớp'. Vì các cặp rời nhau, dùng nguyên lý bù trừ trên ${A_i}$ ta đếm được số sơ đồ nhãn KHÔNG có cặp đối diện nào cùng lớp là $120$ (trên tổng $180$ sơ đồ nhãn).
Bước 3 — Xác suất.
$P = \dfrac{120}{180} = \dfrac{2}{3}$ (chia cho $\gcd = 60$). Vậy $q = 2$, $p = 3$.
Kết luận: $p + q = 3 + 2 = 5$. Đáp số: $5$.
*Lỗi thường gặp:* quên rằng các cặp đối diện là rời nhau nên bù trừ đơn giản hơn (số cách chọn $k$ cặp vi phạm là $C_m^k$), hoặc nhầm cặp đối diện với cặp liền kề.
65% trả lời đúng
190 đúng · 103 sai