$\bullet$ Những bộ ba vị trí $(A, B, C)$, $(C, D, E)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
$\bullet$ Bộ ba vị trí $(A, C, E)$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Xác suất kết thúc trò chơi ở một lần chọn và sắp xếp là $a$. Tính $\dfrac{1}{2026a}$ (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Bước 1 — Không gian mẫu.
Chọn $5$ số khác nhau từ $30$ số rồi xếp vào $5$ vị trí có thứ tự $A, B, C, D, E$ là một chỉnh hợp chập $5$ của $30$: $n(\Omega) = A_{30}^{5} = 17100720$.
Bước 2 — Dịch các điều kiện.
$(A, B, C)$ cấp số cộng $\Leftrightarrow 2B = A + C$; $(C, D, E)$ cấp số cộng $\Leftrightarrow 2D = C + E$; $(A, C, E)$ cấp số nhân $\Leftrightarrow C^2 = A \cdot E$.
Vậy khi biết bộ $(A, C, E)$ thì $B = \dfrac{A+C}{2}$ và $D = \dfrac{C+E}{2}$ được xác định DUY NHẤT (cần $A+C$, $C+E$ chẵn để $B, D$ nguyên).
Bước 3 — Đếm số bộ thỏa mãn.
Duyệt $A, C \in \{1, \ldots, 30\}$ phân biệt với $E = \dfrac{C^2}{A}$ nguyên và $\le 30$; kiểm tra $B, D$ nguyên, thuộc $\{1, \ldots, 30\}$ và cả $5$ số $A, B, C, D, E$ đôi một khác nhau. Đếm được $n(\text{kết thúc}) = 18$ bộ.
Bước 4 — Xác suất và kết quả.
$a = \dfrac{18}{17100720}$. Do đó $\dfrac{1}{2026a} = \dfrac{17100720}{2026 \cdot 18} = 468.9240\ldots \approx 469$.
Kết luận: $\dfrac{1}{2026a} \approx 469$.
*Lỗi thường gặp:* lấy không gian mẫu là tổ hợp $C_N^5$ (quên rằng $5$ vị trí có thứ tự nên phải dùng chỉnh hợp $A_N^5$), hoặc bỏ sót điều kiện $5$ số đôi một khác nhau.