Số nghiệm NGUYÊN của $\log_a(m_f x + n_f) \gtrless \log_a(m_g x + n_g)$.

Bước 1 — Điều kiện xác định. Hai biểu thức dưới dấu log phải dương: $2x + 2 > 0$ và $-x + 4 > 0$. Giao lại được miền $D = (-1;\ 4)$.

Bước 2 — Bỏ logarit. Cơ số $\dfrac{1}{3}$ nhỏ hơn $1$ nên hàm $\log$ nghịch biến nên phải ĐẢO chiều bất phương trình: $2x + 2 \le -x + 4$.

Bước 3 — Giải bất phương trình bậc nhất. Chuyển vế: $3x \le 2$ $\Leftrightarrow x \le \dfrac{2}{3}$.

Bước 4 — Giao với điều kiện xác định. Kết hợp với $D = (-1;\ 4)$ ta được tập nghiệm $(-1;\ \dfrac{2}{3}]$.

Kết luận: Tập nghiệm là $(-1;\ \dfrac{2}{3}]$.

Đếm nghiệm nguyên. Các số nguyên thuộc $(-1;\ \dfrac{2}{3}]$ đếm được $1$ giá trị.