Bước 1 — Liên hệ $R$, $r$, cạnh $a$ bằng tam giác vuông tại tâm.
Xét một cạnh bất kỳ của đa giác đều, gọi $M$ là TRUNG ĐIỂM cạnh đó và $A$ là một đỉnh kề. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc cạnh tại $M$ nên $OM \perp$ cạnh, tức $OM = r$; còn $OA = R$ (nối tâm tới đỉnh) và $MA = \dfrac{a}{2}$ (nửa cạnh).
Tam giác $OMA$ vuông tại $M$, theo Pytago:
$$R^2 = OA^2 = OM^2 + MA^2 = r^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \;\Rightarrow\; R^2 - r^2 = \dfrac{a^2}{4}.$$
Bước 2 — Diện tích vành khăn KHÔNG phụ thuộc số cạnh.
Vành khăn (giữa đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp) có diện tích $S = \pi(R^2 - r^2) = \pi \cdot \dfrac{a^2}{4}$.
Biểu thức này CHỈ chứa $a$, không chứa số cạnh — nên ba đa giác đều cùng cạnh $a$ cho ba vành khăn BẰNG NHAU.
Bước 3 — Kiểm chứng trực tiếp với $a = 2$.
• Tam giác đều: $R = \dfrac{a\sqrt3}{3} = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$, $r = \dfrac{a\sqrt3}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ → $\pi(R^2-r^2) = \pi(\dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{3}) = \pi$.
• Hình vuông: $R = \dfrac{a\sqrt2}{2} = \sqrt{2}$, $r = \dfrac{a}{2} = 1$ → $\pi(R^2-r^2) = \pi(2 - 1) = \pi$.
• Lục giác đều: $R = a = 2$, $r = \dfrac{a\sqrt3}{2} = \sqrt{3}$ → $\pi(R^2-r^2) = \pi(4 - 3) = \pi$.
Cả ba đều ra cùng một giá trị.
Kết luận: Ba vành khăn BẰNG NHAU, cùng bằng $S = \dfrac{\pi a^2}{4} = \pi$.