- Hình $(A)$ giới hạn bởi $y = x^2$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 3$;
- Hình $(B)$ giới hạn bởi $y = x$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 3$.
Lần lượt quay $(A)$ và $(B)$ quanh trục $Ox$ thu được hai khối tròn xoay có thể tích $V_A$, $V_B$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Bước 1 — Thể tích do BÌNH PHƯƠNG hàm quyết định.
Khi quay hình phẳng $0 \le y \le f(x)$ trên $[0; b]$ quanh $Ox$:
$V = \pi \displaystyle\int_0^{b} [f(x)]^2\,dx$.
Vậy thể tích phụ thuộc $\int f^2$, không phải đường nào cao hơn, cũng không phải diện tích $\int f$ của hình phẳng.
Bước 2 — Tính $V_A$.
$y = x^2$ ⇒ $[f_A]^2 = x^{4}$.
$V_A = \pi\displaystyle\int_0^{3} x^{4}\,dx = \dfrac{243 \pi}{5}$.
Bước 3 — Tính $V_B$.
$y = x$ ⇒ $[f_B]^2 = x^{2}$.
$V_B = \pi\displaystyle\int_0^{3} x^{2}\,dx = 9 \pi$.
Bước 4 — So sánh & cảnh báo bẫy.
$V_A - V_B = \dfrac{243 \pi}{5} - \left(9 \pi\right) = \dfrac{198 \pi}{5}$ $> 0$ (với $b = 3$).
Lưu ý: phải so qua $\int f^2$, không được kết luận từ diện tích $S_A = \int_0^{3} f_A\,dx = 9$, $S_B = \dfrac{9}{2}$, cũng không từ việc đường nào cao hơn — hai dấu hiệu đó có thể đánh lừa.
Kết luận: $V_A > V_B$, tức thể tích khối $(A)$ lớn hơn khối $(B)$.