Trên mặt biển phẳng, một con tàu xuất phát từ điểm $A$ cách hải đăng $O$ một khoảng $d = 20$ hải lý, sau đó di chuyển thẳng đều với vận tốc $v = 4$ hải lý/giờ. Hướng đi của tàu hợp với $\overrightarrow{OA}$ một góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos\alpha = \dfrac{1}{5}$ ($0 < \alpha < 90^\circ$). Hỏi sau bao lâu kể từ lúc xuất phát, tàu ở vị trí gần hải đăng nhất?
A
$t^* = \dfrac{20}{4}\,\text{h}$
B
$t^* = 1\,\text{h}$
✓
C
$t^* = 100\,\text{h}$
D
$t^* = 0\,\text{h}$
LỜI GIẢI
Đặt hải đăng $O$ tại gốc, $A$ trên trục dương. Sau $t$ giờ, tàu ở vị trí $M_t$. Khoảng cách $r(t) = OM_t$ thoả mãn $r^2(t) = d^2 - 2dv t\cos\alpha + (vt)^2$ (định lý cos).
Đặt $f(t) = r^2(t) = (vt)^2 - 2dv\cos\alpha \cdot t + d^2$. $f'(t) = 2v^2 t - 2dv\cos\alpha = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{d\cos\alpha}{v}$.
$f''(t) = 2v^2 > 0$ nên $t^* = \dfrac{d\cos\alpha}{v} = \dfrac{20 \cdot \dfrac{1}{5}}{4} = 1\,\text{h}$.
Khoảng cách nhỏ nhất: $r_{\min} = d\sin\alpha$ (theo hệ thức lượng giác).
58% trả lời đúng
297 đúng · 215 sai