Một chiếc thang dài $L = 5$ m tựa vào tường thẳng đứng. Do trơn, đầu trên của thang trượt xuống dọc theo tường với vận tốc không đổi $v = 2$ m/s. Tại thời điểm đầu trên cách mặt đất $y_0 = 4$ m, hỏi đầu dưới của thang đang chuyển động (trượt ra xa tường) với vận tốc bằng bao nhiêu?
A
$\dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{4}{3}\,\text{m/s}$
B
$\dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{6}{4}\,\text{m/s}$
C
$\dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{8}{3}\,\text{m/s}$
✓
D
$\dfrac{dx}{dt} = -2\,\text{m/s}$
LỜI GIẢI
Gọi $x(t)$, $y(t)$ là khoảng cách đầu dưới đến tường và đầu trên đến mặt đất. Pi-ta-go: $x^2 + y^2 = L^2 = 25$.
Đạo hàm hai vế theo $t$: $2x \cdot \dfrac{dx}{dt} + 2y \cdot \dfrac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{dy}{dt}$.
Tại thời điểm $y = 4$: $x = \sqrt{25 - 16} = 3$ m. Đỉnh trượt xuống nên $\dfrac{dy}{dt} = -2$ (âm).
Thay vào: $\dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{4}{3} \cdot (-2) = \dfrac{8}{3}$ — đáy ra xa tường, tốc độ $|\dot x|$ = $\dfrac{8}{3}$ m/s. Tuy nhiên đề hỏi $\dot x$ với quy ước hướng vào tường là dương → đáp số mang dấu âm.
64% trả lời đúng
465 đúng · 260 sai