Trong y học, máy tán sỏi ngoài cơ thể (Lithotripter) có một mặt phản xạ có mặt cắt là một nửa đường elip. Nguồn phát sóng đặt tại tiêu điểm $F_1$, viên sỏi ở tiêu điểm $F_2$; mọi tia phát ra từ $F_1$ sau khi phản xạ đều hội tụ tại $F_2$. Thiết bị có mặt cắt là nửa elip với độ dài trục lớn là $50$ cm và khoảng cách từ tiêu điểm đến tâm của elip là $20$ cm. Xét một tia sóng phát ra từ $F_1$, đi theo phương vuông góc với trục lớn tại chính vị trí $F_1$, chạm vào mặt phản xạ tại điểm $M$ rồi truyền đến viên sỏi tại $F_2$. Tính độ dài quãng đường $MF_2$ (đơn vị: cm).
ĐÁP ÁN
4
1
LỜI GIẢI
Bước 1 — Tìm $a, c$ rồi tính $b^2$.
Độ dài trục lớn $2a = 50 \Rightarrow a = 25$; khoảng cách tâm đến tiêu điểm $c = 20$. Do đó $b^2 = a^2 - c^2 = 25^2 - 20^2 = 225$.
Bước 2 — Tính $MF_1$ (bán kính qua tiêu vuông góc trục lớn).
Thay $x = c$ vào $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ được $|y| = \dfrac{b^2}{a}$, nên $MF_1 = \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{225}{25} = 9$.
Bước 3 — Dùng định nghĩa elip (tính chất phản xạ).
Vì $M$ nằm trên elip nên $MF_1 + MF_2 = 2a$. Suy ra $MF_2 = 2a - MF_1 = 50 - 9 = 41$.
_(Kiểm chứng bằng tam giác vuông $MF_1F_2$ tại $F_1$: $MF_2^2 = MF_1^2 + (2c)^2 = 9^2 + 40^2$, cho cùng kết quả.)_
Kết luận: $MF_2 = 41$ cm.
71% trả lời đúng
499 đúng · 204 sai