Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0; +\infty)$ thoả mãn $f(x) + 2\,f\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = 3x$ với mọi $x > 0$. Tính $I = \displaystyle\int_{\dfrac{1}{2}}^{2} f(x)\, dx$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
ĐÁP ÁN
0
,
9
0
LỜI GIẢI
Đặt (i): $f(x) + 2 f(1/x) = 3x$. Thay $x \to 1/x$ để được (ii): $f(1/x) + 2 f(x) = 3/x$.
Nhân (ii) với $2$ rồi trừ (i): $4 f(x) - f(x) = \dfrac{6}{x} - 3x$, suy ra $f(x) = \dfrac{2}{x} - x$.
$\displaystyle I = \int_{1/2}^{2}\!\left(\dfrac{2}{x} - x\right)\!dx = \left.\bigl(2\ln x - \dfrac{x^2}{2}\bigr)\right|_{1/2}^{2} = (2\ln 2 - 2) - (2\ln \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{8})$.
$I = 4\ln 2 - \dfrac{15}{8} \approx 0,90$.
66% trả lời đúng
116 đúng · 61 sai