Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 4]$ và thoả mãn $f(x) + f(4 - x) = 5$ với mọi $x \in [0; 4]$. Tính $I = \displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,dx$.
A
$I = 5$
B
$I = 9$
C
$I = 10$
✓
D
$I = 20$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Đổi biến $t = a - x$ trên tích phân.
Với $I = \int_0^{4} f(x)\,dx$, đặt $t = 4 - x \Rightarrow dt = -dx$.
Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 4$; $x = 4 \Rightarrow t = 0$.
$I = \int_{4}^{0} f(4 - t)(-dt) = \int_0^{4} f(4 - t)\,dt$ (tích phân không phụ thuộc tên biến).
Bước 2 — Cộng hai cách viết của $I$.
$2I = \int_0^{4} f(x)\,dx + \int_0^{4} f(4 - x)\,dx = \int_0^{4} \big[f(x) + f(4 - x)\big]\,dx$.
Bước 3 — Dùng giả thiết đối xứng.
Vì $f(x) + f(4 - x) = 5$ nên $2I = \int_0^{4} 5\,dx = 5 \cdot 4 = 20$.
Bước 4 — Suy ra $I$.
$I = \dfrac{20}{2} = 10$.
Kết luận: $I = 10$.
58% trả lời đúng
366 đúng · 261 sai