Bước 1 — Đạo hàm hàm phân thức (quy tắc thương).
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ (tử CÓ dấu trừ).
Với $u = 2 x + 5$, $v = x - 2$: $u' = 2$, $v' = 1$ ⇒ tử $= ad - bc = 2 \cdot -2 - (5) \cdot 1 = -9$.
$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{-9}{(x - 2)^2}$.
Bước 2 — Điều kiện hệ số góc và phương trình tiếp điểm.
Hệ số góc tiếp tuyến tại $x_0$ là $f'(x_0)$, đặt bằng $-1$:
$\dfrac{-9}{(x - 2)^2} = -1 \Leftrightarrow (x - 2)^2 = \dfrac{-9}{(-1)} = 9$.
Đây là phương trình BẬC HAI theo $x_0$ ⇒ phải lấy ĐỦ hai nghiệm.
Bước 3 — Giải tìm HAI tiếp điểm:
$(x - 2)^2 = 9 \Leftrightarrow x - 2 = \pm 3$.
• $x_0 + d = -3$: lấy dấu $-$ ⇒ $x_0 = -1$.
• $x_0 + d = 3$: lấy dấu $+$ ⇒ $x_0 = 5$.
Hai tiếp điểm đối xứng nhau qua tiệm cận đứng $x = -d$.
Bước 4 — Tung độ hai tiếp điểm:
$f(-1) = \dfrac{3}{-3} = -1$; $f(5) = \dfrac{15}{3} = 5$.
Bước 5 — Viết hai tiếp tuyến $y = k(x - x_0) + f(x_0)$:
• Tại $x_0 = -1$: $y = -1(x + 1) - 1 = -x - 2$.
• Tại $x_0 = 5$: $y = -1(x - (5)) + 5 = -x + 10$.
Kết luận: Có hai tiếp tuyến: $y = -x - 2$ và $y = -x + 10$.