Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 + 3mx^2 + 75x - 6$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A
$m < -5$ hoặc $m > 5$
B
$-5 < m < 5$
C
$-5 \leq m \leq 5$
✓
D
$m \leq -5$ hoặc $m \geq 5$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Điều kiện để hàm bậc 3 đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Hàm $y = ax^3 + \ldots$ với $a > 0$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ⇔ $y' \geq 0\ \forall x \in \mathbb{R}$.
Vì $y'$ là tam thức bậc 2 với hệ số đầu dương, điều kiện này ⇔ $\Delta_{y'} \leq 0$.
Bước 2 — Tính đạo hàm.
$y' = 3x^2 + 6mx + 3 \cdot 25$ (tam thức bậc 2 ẩn $x$, tham số $m$).
Bước 3 — Tính $\Delta'$ và đặt điều kiện.
$\Delta' = (3m)^2 - 3 \cdot 3 \cdot 25 = 9m^2 - 9 \cdot 25 = 9(m^2 - 25)$.
$y' \geq 0\ \forall x \Leftrightarrow \Delta' \leq 0 \Leftrightarrow m^2 \leq 25$.
Bước 4 — Giải bất phương trình $m^2 \leq 25$.
$|m| \leq \sqrt{25} = 5$ ⇔ $-5 \leq m \leq 5$.
Kết luận: $m \in [-5; 5]$.
73% trả lời đúng
488 đúng · 183 sai