Bước 1 — Điều kiện xác định.
Biểu thức dưới căn nằm ở MẪU SỐ, nên để hàm số xác định ta cần $\sqrt{x^2 - 2mx + (sm + t)}$ có nghĩa VÀ khác 0, tức biểu thức dưới căn phải DƯƠNG NGẶT:
$g(x) = x^2 - 2mx + (sm + t) > 0$.
Chú ý: nếu chỉ viết $g(x) \geq 0$ thì tại điểm $g(x) = 0$ mẫu bằng 0 — hàm số KHÔNG xác định. Đây là điểm mấu chốt.
Bước 2 — Áp dụng cho hàm đã cho:
$g(x) = x^2 - 2mx + 9$ là tam thức bậc hai theo $x$ với $a = 1,\ b = -2m,\ c = 9$.
Yêu cầu: $g(x) > 0$ với MỌI $x \in \mathbb{R}$.
Bước 3 — Điều kiện tam thức bậc hai luôn dương.
Tam thức $ax^2 + bx + c > 0\ \forall x \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta' < 0 \end{cases}$.
Ở đây $a = 1 > 0$ (luôn đúng), nên chỉ còn điều kiện $\Delta' < 0$.
Bước 4 — Tính $\Delta'$ theo $m$ và giải.
$\Delta' = (b')^2 - ac = (-m)^2 - 1\cdot(9) = m^2 - 9$.
$\Delta' < 0 \Leftrightarrow m^2 - 9 < 0 \Leftrightarrow (m + 3)(m - (3)) < 0$.
Vì hệ số $m^2$ dương, biểu thức âm ở GIỮA hai nghiệm: $-3 < m < 3$.
Kết luận: $-3 < m < 3$.