Bước 1 — Hệ thức bán kính đường tròn giao tuyến.
Khi mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S; R)$ theo đường tròn bán kính $r$, gọi $d = d(I, (P))$. Trong tam giác vuông tạo bởi bán kính mặt cầu, khoảng cách $d$ và bán kính đường tròn:
$r^2 = R^2 - d^2 \Rightarrow d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$.
Bước 2 — Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ theo $m$.
$\vec n = (0; 4; 3)$, $|\vec n| = \sqrt{25} = 5$.
$d(I, (P)) = \dfrac{|0\cdot(0) + 4\cdot(2) + 3\cdot(2) + m|}{5} = \dfrac{|14 + m|}{5}$.
Bước 3 — Lập và giải phương trình trị tuyệt đối.
$\dfrac{|14 + m|}{5} = 3 \Rightarrow |14 + m| = 3 \cdot 5 = 15$.
$\Rightarrow 14 + m = 15$ hoặc $14 + m = -15$.
Bước 4 — Biện luận, kết luận.
$m = 15 - (14) = 1$ hoặc $m = -15 - (14) = -29$.
Cả hai đều cho $d = 3 < R = 5$ nên $(P)$ thực sự cắt $(S)$. Vậy $m = -29$ hoặc $m = 1$.