Bước 1 — Điểm cố định của họ đường thẳng là gì?
Điểm cố định là điểm $(x_0; y_0)$ mà $d_m$ đi qua với mọi giá trị của tham số $m$. Vì toạ độ điểm không đổi theo $m$, ta xem phương trình như một phương trình bậc nhất ẩn $m$ và yêu cầu nó nghiệm đúng với mọi $m$.
Bước 2 — Viết điều kiện điểm thuộc $d_m$:
Điểm $(x; y)$ thuộc $d_m$ khi $y = (-m + 3)x + (3m + 2)$.
Khai triển và nhóm các số hạng chứa $m$:
$y = -mx + 3x + 3m + 2$
$\Leftrightarrow m(-x + 3) + (3x + 2 - y) = 0$
Bước 3 — Cho đúng với MỌI $m$.
Một biểu thức bậc nhất theo $m$ bằng $0$ với mọi $m$ khi và chỉ khi hệ số của $m$ và số hạng tự do đều bằng $0$:
$\begin{cases} -x + 3 = 0 \\ 3x + 2 - y = 0 \end{cases}$
Bước 4 — Giải hệ.
Từ phương trình đầu: $-x = -3 \Rightarrow x = 3$.
Thay $x = 3$ vào phương trình sau: $y = 3 \cdot (3) + 2 = 11$.
Kết luận: với mọi $m$, đường thẳng $d_m$ luôn đi qua điểm cố định $(3; 11)$.